Base de l'espace

Définition

Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires.

Remarques

• Une base du plan est formée de deux vecteurs non colinéaires.
  On dit qu'un plan est de dimension \(2\) .
• Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires.
  On dit que l'espace est de dimension \(3\) .

Exemple

Dans la figure ci-dessous, \(\mathrm{ABCDEFGH}\) est un cube.

Les vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) , \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\) et  \(\mathrm{\overrightarrow{AE}}\)  sont non coplanaires.
Le triplet \(\mathrm{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}\) forme une base de l’espace.

Propriété et définition

Soit une base   \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)  de l'espace. Soit  \(\overrightarrow u\)  un vecteur de l'espace.
Alors le vecteur  \(\overrightarrow{u}\) s’écrit de manière unique sous la forme   \(\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\) . 
Les trois nombres \(x\) , \(y\) et \(z\) s'appellent les coordonnées du vecteur  \(\overrightarrow u\)  dans la base  \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) . 
On note alors  \(\overrightarrow{u}(x~;~y~;~z)\) ou  \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\\end{pmatrix}\) . 

Exemple

On reprend l'exemple ci-dessus. Soit \(\mathrm{I}\) le milieu du segment \(\mathrm{[FG]}\) .

Alors :
\(\begin{array}[t]{rcl}\mathrm{\overrightarrow{ID}} & = & \mathrm{\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{HD}}\\ \mathrm{\overrightarrow{ID}}& =& \mathrm{\dfrac12\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}}\\\mathrm{\overrightarrow{ID}}& =& \mathrm{-\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}}\\\end{array}\)
Donc le vecteur  \(\mathrm{\overrightarrow{ID}}\)  a pour coordonnées :
\(\mathrm{\overrightarrow{ID}}\begin{pmatrix} -1 \\\dfrac12 \\ -1\\\end{pmatrix}\) .